高中数学数列问题的解题策略与教学研究

  南安市华侨中学  潘用土

本论文发表在《考试周刊》2015年第62期

摘要：数列在高中数学中占有极为重要的地位，数列这一章节在高考数学中所占的分值比例也较大，数列在高中数学的考试或者考查中注重其性质和基础。在高考中，数列的考查形式也是注重基础的考查，或者在概念的基础上交叉例如推理以及数学建模之类的内容，注重考查学生的综合能力。本文以人教A版的高中数学教材为本，以数列在高考中的的常见考查题型为例，具体说明数列学习的重点以及在高考中的常见形式。

关键词：高中数学  数列  解题策略

1  数列的基本概念

按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，排在第n位的数称为这个数列的第n项。在高中阶段，常见的数列类型一般为等差数列和等比数列，等差数列的表示方法为： ； ；其通项公式为： 。在等比数列中： ； ；其通项公式为： ； 。

2  通项与求和公式的直接应用

在高中数学中的这类题目，没有很强的技巧性，注重考查学生的基本功，需要学生熟悉并且掌握简单数列的求和公式，但是记忆要准确，计算要细心，此类题目直接运用数列的基本公式即可。其中，等差数列的通项公式为：            （1）

等差数列的前n项的和为：         （2）

等比数列的通项公式：                                           （3）

其前n项的和为：                        （4）

例1：已知一等比数列｛a_n｝的公比为正数，如果 ， ，那么数列数列｛a_n｝的前7项和为（    ）

A.、63  B、64   C、127    D、128

     〖分析〗此题属于数列题型中较为基础的题型，先求出次数列的公比，再由公式求出前7项的和，可由公式（3）求出公比q，再根据公式（4）可求出前7项的和。

      解析：由 得：q⁴=16，由题意得出公比为正数，可求得q=2

           所以代入公式求得S₇= =127    故此，答案为C

    点评：此题是考查学生对于高中数学中数列公式和性质的基本掌握情况，要求学生加强对于基础公式的记忆，运用其性质和定义解决实际问题。

3  数列的常见性质的灵活应用

学生在对数列的基本性质掌握以后就要学会应用数列的基本性质去解决实际的问题，但在利用中需要注意灵活的使用数列的性质，在解答问题的时候如果可以灵活的应用数列的性质，可以节省大量的解题时间，下面举一例说明数列性质的灵活应用：

例2：我们不妨设等比数列｛a_n｝的前n项和为S_n，且此等比数列的各项为正数，如果S_n=2,且S_3n=14，那么S_4n=（ ）

A、.10     B、30     C、86     D、36

     〖分析〗如果原来的数列的各项为S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，S_4n-S_3n……那么这些数列的各项就构成了公比为qⁿ的等比数列，再对这个数列的各项求解。

      解析：我们由等比数列的性质不难得出，如果原来的等比数列为S_n，S_2n，S_3n，S_4n……那么S_n，S_2n-S_n,S_3n-S_2n,S_4n-S_3n……仍为等比数列，我们不妨设这个等比数列的公比为q，s_n=2，不难得出：S_2n-S_n=2q， S_3n-S_2n=2q²  ,S_4n-S_3n=2q³；

进而得出：S_3n=2+2q+2q²=14, 且q>0得q=2  ；

经计算可以得出：S_4n=2+4+8+16=30。

所以此题应该选择：B。

4  累加（乘）求数列的通项公式

在数列的学习中，在进行等差等比数列推导经常使用的方法为累加法或者累乘法，在高考中，通项公式的求法也经常使用这两种方法解决，下面举一例：

例3：在数列｛a_n｝中， ， （c为常数，n=1,2,3…），且 为等比数列，但其公比不为1。

（1）求常数c的值；

（2）求数学｛a_n｝的通项公式。

〖分析〗我们不难求出第一问中的c=2，我们根据题中给出的递推公式可以得出： ，我们会发现 可以作为某个可以求和的某个数列中的一项，因此，我们推荐使用累加法。

解：（1）c=2，解题过程略。

（2）假设n≥2，因为

            , 

        ,

          ……

所以我们不难得出 ,

将以上各式进行累加计算： ，

我们不难得出： ，

再对上式进行检验，当n=1时， 亦满足，

综上所述： 。

参考文献：

[1]白晓洁. 新课标下高中数学数列问题的研究[D].河南师范大学,2013.

[2]戴桂良. 新课标下高中数学数列问题的研究[J]. 高中数理化,2015,08:14.

[3]赵国保. 高中数学数列教学中的教与学探究[J]. 数学学习与研究,2012,07:50.

[4]高东. 高中数学数列教学探讨[J]. 语数外学习(数学教育),2013,05:18.